О феноменологической теории роста населения Земли С.П. Капицы

С.В. Цирель

Одним из значительных явлений российской науки последнего времени стала феноменологическая теория роста населения Земли С.П. Капицы. Теория широко популяризировалась ее автором (в книге С.П. Капицы «Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле» перечислено 28 публикаций ее автора по данной теме¹), у нее появилось множество горячих сторонников и не менее горячих противников. Данная статья - это смелая попытка непрофессионала в области демографии разобраться, в чем достоинства и недостатки данной теории.

В основе теории лежит эмпирическая формула, полученная С. Хорнером:

где N - количество людей на Земле, Т - год от Р.Х., с хорошей точностью описывающая рост народонаселения Земли в течение весьма длительного времени. С.П. Капица интерпретировал гиперболический рост как следствие квадратичной зависимости dN/dT от N и предложил для описания роста населения Земли три дифференциальных уравнения:

где T₁ = 2007 год от Р.Х., τ = 42 года, K = 67000. Параметр τ имеет смысл либо удвоенной средней продолжительности жизни в течение большей части человеческой истории, либо удвоенной длины поколения. Смысл параметра К неочевиден, автор его охарактеризовал, как «определяющий скорость роста за поколение как результат бинарного взаимодействия групп по К человек в каждой».

Кроме этого описания используются сокращенная система, состоящая из уравнений (2а) и (2с), сшитых между собой более гладким образом, одно уравнение (2b), а также описание всего демографического процесса в виде:

Отметим, что уравнение (3а) формально приводит к неограниченному росту человечества с периодическими ускорениями, примерно раз в 8,8 миллиона лет.

В пользу данной теории приводится две группы аргументов. В первую группу входят аргументы, относящиеся как к системе дифференциальных уравнений (2), так и к эмпирической формуле (1). Главный из них - это хорошая аппроксимация исходных данных о численности населения Земли. Также указывается на близость подсчитанного общего количества людей, когда-либо живших на Земле, к результатам других аналогичных расчетов. Отметим, что для этих расчетов использовалась сокращенная, а не полная система (2), однако это не меняет порядок величины, а более точные оценки затруднительны. Третьим важным аргументом из этой группы является возможность разбиения всей хронологической оси на периоды, образующие геометрическую прогрессию, в течение каждого из которых жило примерно одинаковое число людей (~ 9 млрд.). Однако расчет с удовлетворительной точностью возможен лишь для трех последних периодов, причем на два последних существенное влияние оказывают двойной учет людей, заставших смену периодов, а также не принимаемое во внимание в других случаях увеличение продолжительности жизни.

Вторую группу составляют аргументы, относящиеся только к системе (2). Возможно, важнейшим из них является аналогия с данными Дж. Холдрена, которые позволяют считать, что годовое общемировое потребление энергии с 1850 года росло примерно пропорционально N². Однако до изобретения парового двигателя такой закономерности, очевидно, не наблюдалось, и так как следствие не может проявляться раньше причины, то остается считать, что либо обе квадратичные зависимости определяются одной общей, но неизвестной нам причиной, либо между ними нет очевидной связи.

Другие аргументы из этой группы связаны не с видом уравнения, а с самой возможностью общего описания роста народонаселения всей Земли. Указание, что «сведения о демографии Индии и Китая уже суммируют данные по 1/6 или 1/5 мира, и переход к населению всего мира - это небольшой шаг в степени агрегации», на мой взгляд, несостоятельно, ибо население Индии или Китая обладает гораздо большей общностью демографических характеристик, чем весь мир; т.е. степень агрегации определяется различиями рождаемости, смертности и брачности внутри региона, а не его размерами. Второй, более значимый, аргумент связан с отмеченной Ф. Броделем синхронизацией исторических и демографических процессов. Действительно, есть веские основания считать (см., например, на график, приведенный в книге А.Г. Вишневского²), что синхронизмы демографических процессов³ слишком велики и длительны, чтобы их можно было приписать лишь современным факторам, вызывающим демографический переход (экономический и технический прогресс, успехи санитарии и медицины), и случайным совпадениям. Другими факторами, вызывающими синхронизацию исторических и демографических процессов в разных частях света, могут быть глобальные климатические изменения, пандемии, достаточно быстрое распространение важных изобретений (в первую очередь в военной области, но не только в ней), миграции и торговые связи, а также, по меньшей мере, три периода военной активности, охватившие большую часть Евразии («великое переселение народов», монгольские завоевания и европейская колонизация). Возможно, сходные, хотя более длительные и менее выраженные процессы происходили и в более ранние времена, например расселение индоевропейцев и связанное с ним распространение коневодства. На близость скорости течения исторических и, соответственно, демографических процессов для всего человечества в близких условиях указывает приблизительно одновременное появление первых цивилизаций в Египте и Месопотамии, и еще в большей мере малая (по сравнению с 20-40 тысячами лет отсутствия контактов⁴) разница во времени возникновения первых цивилизаций в Старом и Новом Свете. Тем не менее, в течение весьма длительных периодов, наблюдалась рассинхронизация демографических процессов на разных концах Евразии, более того, рассинхронизация наблюдалась в ХХ веке и наблюдается сегодня в эпоху глобализации, когда мир, без всякого сомнения, связан в единую систему. Поэтому, по-видимому, правильнее будет сказать, что при общей близости течения исторических и демографических процессов в наиболее благоприятных условиях большая часть человечества то соединялась в единую систему, то распадалась на ряд отдельных систем; при этом соединение в систему может приводить и к синхронизации и к рассинхронизации демографических процессов.

Таким образом, существуют достаточно сильные аргументы в пользу данной модели, но в то же время ни один из аргументов не может быть причислен классу доказательств. Посмотрим теперь внимательнее на некоторые детали приложения данной модели к мировому демографическому процессу.

1. На начальном этапе (-4,4 миллиона лет ÷ -40 тысяч лет) кривая N(T) описывает рост популяции не одного вида, а последовательности сменяющих друг друга видов. Строго говоря, модели размножения и гибели неприменимы для совокупностей не сочетающихся между собой особей. Для того чтобы их все же можно было использовать, необходимо выполнение трех условий - смены одного вида другим путем истребления старого вида новым, общности экологической ниши, а также близости плодовитости и других популяционных характеристик. Выполнение всех этих условий для большинства видов Homo представляется весьма вероятным и имеет ряд косвенных подтверждений, тем не менее, сегодня нельзя утверждать, что на протяжении 4,4 миллиона лет все изменения видового состава гоминид удовлетворяли всем трем условиям. По этой причине (в сочетании с малой точностью палеодемографических оценок) возможность распространения кривой N(T) на весь указанный период весьма проблематична. Кроме того, в свете выявившихся в последнее время существенных расхождений между археологическими и этногенетическими датировками ранней истории Homo sapiens проблематичными оказываются и многие оценки, относящиеся к первобытному обществу.

2. Феноменологическая теория роста населения испытывает заметные трудности при описании наиболее интересных и неплохо изученных явлений - демографических переходов. Первый демографический переход, связанный с «неолитической революцией», как указывает сам автор теории, в модели отсутствует, ибо «описывается только осредненная картина развития». На мой взгляд, столь сильное осреднение существенно снижает прогностические возможности модели (имеется в виду ретроспективный прогноз). По современным оценкам во время первого демографического перехода численность человечества увеличилась в 3-10 раз, а темпы роста - в 10-30 раз, что вполне сравнимо со вторым демографическим переходом. Возможно, на этих оценках сказалось желание демографов увидеть связь демографических и исторических процессов, тем не менее, само существование перехода и значительного прироста количества людей считается практически доказанным. Перенос этого прироста на более ранние времена может заметно исказить демографическую картину первобытного общества. Например, завышение темпов роста может скрадывать широко распространенный способ регулирования численности с помощью геронтоцида и инфантицида (в особенности по отношению к девочкам).

Второй демографический переход внесен в модель искусственно путем добавления члена τ² в знаменатель уравнения (2с). При этом переход от уравнения (2b) к уравнению (2с) соответствует лишь одной стороне процесса демографического перехода - снижению скорости роста. Ускорение же роста в рамках модели оказывается продолжением ранее наблюдавшейся тенденции. Учитывая, что население Европы и, шире, численность всех людей западной культуры меньше населения Азии, то начальный период демографического перехода в Азии оказывается связанным скорее с демографическими процессами, ранее имевшими место в самой Азии, чем с демографическим переходом в Европе. Этот неожиданный вывод можно интерпретировать как результат наложения стабилизирующего влияния европейской колонизации и, в большей мере, угрозы колонизации на компенсацию потерь во время внутренних катаклизмов, периода похолодания и пандемии чумы. В предыдущей фразе без особого ущерба для смысла можно заменить стабилизирующее действие угроз колонизации на исчезновение дестабилизирующего фактора - полуцивилизованной окраины ойкумены (в первую очередь, евразийской степи), «внешнего пролетариата» А.Тойнби. Однако при любой интерпретации пропадает основная причина, с которой принято связывать начало перехода - снижение смертности в результате успехов медицины и техники при сохранении прежних наталистских установок. При этом описание следующей стадии перехода, замедления роста и спада (dN/dT)/N, путем искусственного введения члена τ² позволяет лишь проверять модель с помощью прогнозов ООН и IIASA, но не наоборот. Сказанное в полной мере относится и к другим вариантам модели - замене n² на sin² n или n²[1 - F(n/n_∞)].

3. Из модели весьма недвусмысленным образом вытекает смелое утверждение сверхфаталистического характера. В уравнении (2b), описывающем рост народонаселения в течение 2,8 миллиона лет, присутствует дата Т₁ = 2007 год, т.е. рост количества гоминид в столь давние времена при благоприятном течении обстоятельств вел к демографическому взрыву около 2000 года нашей эры. По-видимому, аргументом для столь фаталистического взгляда может служить упоминавшаяся выше близость скоростей течения исторических процессов в Старом и Новом Свете. Однако, даже если встать на точку зрения о полной запрограммированности и согласованности биологической эволюции гоминид и социального развития человечества, то оценки устойчивости должны производиться не только для n, но и для «независимой» переменной t (С.П.Капица указывает, что вблизи перехода независимой переменной становится n). По сути дела параметр Т₁ для демографической истории является чем-то вроде «конца истории» для политической истории, и было бы слишком смело предполагать, что время, оставшееся до этой даты, можно в любой момент определять с одинаковой точностью. Тем не менее, вывод, сделанной на основе уравнения (3а), о росте неустойчивости по мере приближения к демографическому переходу представляется вполне реалистическим. В то же время утверждение о снижении неустойчивости в течение демографического перехода и достижении устойчивости при T>T₁, на мой взгляд, является недостатком модели. Во-первых, события во время всего демографического перехода, а не только его начальной стадии, определяют дальнейшую численность населения; например, очевидно, что нынешнее население России было бы существенно больше без трагических событий 1914-1945 годов, пришедшихся на завершающую стадию перехода. Во-вторых, современный российский опыт и, в меньшей мере, европейский опыт показывают, что демографический переход может приводить не к стабилизации численности населения, а к депопуляции. Сегодня нет недостатка в самых разнообразных прогнозах, предсказывающих дестабилизацию человеческого общества (в т.ч. и численности человечества), сам термин «sustainable development» появился как ответ на эти прогнозы.

Таким образом, можно констатировать, что математическая модель С.П. Капицы позволила по-новому сформулировать целый ряд важных вопросов, в т.ч. о связи скорости роста с численностью людей, об общности демографических процессов для всего человечества на протяжении всей его истории, об устойчивости роста численности человечества, о причинах начальной стадии демографического перехода и т.д. Однако все же она остается развитым математическим описанием наблюдений и их аппроксимацией, а не теорией, способной прогнозировать развитие событий.

При этом остается без ответа основной вопрос, связанный с формулой (1) - является ли сочетание простоты и достаточно высокой точности формулы следствием возможности математического описания существа демографических процессов или это редкое сочетание является счастливой случайностью? Окончательный ответ на этот вопрос связан с решением более общих и более трудных проблем - возможно ли математическое (в т.ч. стохастическое) моделирование социальных и исторических процессов, носит ли различие между естественными и гуманитарными науками качественный, принципиальный характер или только количественный (в самом широком смысле слова), и будет уменьшаться по мере по мере развития наук, в т.ч. синергетики.

Тем не менее, некоторые попытки исследования данного вопроса возможны без решения столь общих проблем. Представляется, что существуют два основных пути рассмотрения этого вопроса. Первый путь заключается в аналогичном исследовании изменений численности населения больших и малых регионов, у которых численность населения больше зависит от внутренних процессов, а не от миграции, обладающих различной степенью общности демографических характеристик. Это позволит определить сходства и различия локальных и общемирового демографических процессов.

Второй путь состоит во включении в модель традиционных демографических характеристик, начиная с самых простых типа рождаемости и смертности. На мой взгляд, учет даже простейших характеристик может способствовать существенному развитию модели. Например, на протяжении большей части человеческой истории (кроме второго демографического перехода) прирост населения определялся малой разностью двух больших величин - рождаемости и смертности. Если рождаемость и смертность разложить в ряд по N и принять, что для длительных периодов времени средние значения коэффициентов при N в первой степени примерно равны между собой в силу мальтуазианской недопустимости экспоненциального роста из-за ограниченности ресурсов, а экспоненциальный спад невозможен из-за депопуляции (или после резкого спада до достижения прежней численности снимается запрет на экспоненциальный рост), то достаточно естественным образом получается квадратичная зависимость dN/dT ~ N². Разумеется, такой грубый подход не отвечает на целый ряд вопросов - почему коэффициент при N² имеет примерно постоянное значение, каким образом квадратичная зависимость сохраняется даже в начале демографического перехода, когда происходит рассогласование рождаемости и смертности (или рассогласование - это лишь привычная интерпретация?) и т.д.

Одно из возможных объяснений связано с использованием предположения С.П. Капицы о информационной природе нелинейной зависимости dN/dT от N. Основываясь на этом предположении, легче всего представить, что дополнительный рост, не подверженный мальтузианскому ограничению численности, пропорционален накопленной информации, способствующей выживанию людей. Считая, что сохранившаяся доля информации, полученной человечеством, неизменна, информация добывалась всеми живущими ранее на Земле людьми и достается всем людям, получаем:

где f - рождаемость; q - смертность; Δq и Δf - изменения смертности и связанные с изменениями смертности изменения рождаемости (за счет большей продолжительности жизни женщин фертильного возраста), вызванные накоплением информации; интеграл представляет собой сумму лет, прожитых всеми людьми на Земле до момента T. Согласно высказанному предположению разность f-q в среднем приблизительно равна нулю после заполнения естественной («животной») экологической ниши. Решение (4) имеет вид α cos^-2(βT + γ), его также с высокой точностью можно аппроксимировать гиперболой A/(T₀ - T) ^p, однако значения p находятся в диапазоне 1,7-1,9, что не соответствует фактическим данным. Один из возможных выходов из положения заключается в том, чтобы учитывать только годы, прожитые взрослыми людьми, однако это ведет к чрезмерному усложнению модели.

Более простой и наиболее точно соответствующий фактическим данным выход состоит в отождествлении (точнее, в постулировании пропорциональности) сохранившейся информации, способствующей выживанию, с фактической численностью человечества в данный момент. Тогда интеграл от N в уравнении (4) заменяется N, и мы получаем искомую квадратичную зависимость, т.е. N одновременно характеризует и достигнутую численность людей и с коэффициентом k возможности дальнейшего роста. При этом предположении константы, входящие в (2b), приобретают другие менее эффектные интерпретации:

где N₀ - численность человечества в момент заполнения естественной экологической ниши T₀ или при последнем изменении значения k.

Здесь необходимо оговорить принципиальное различие моделей роста численности человечества и популяций животных. Если популяция животных достигла большой численности N, то это означает ее приближение к предельному значению в своей экологической нише, дальнейший прирост возможен или вследствие изменений внешних условий (например, при вымирании конкурентного вида) или вследствие новой удачной мутации. Если количество людей достигло большой численности N, то это означает, что уровень технологического и организационного развития позволил человечеству иметь такую численность. В соответствии с выдвинутым предположением скорость роста населения Земли пропорциональна достигнутому уровню, характеризуемому численностью N. Разумеется, данное предположение не исключает случаев, когда приспособление оказывается мнимым, ведущим в конечном счете к экологической катастрофе, например, нынешняя ситуация нередко оценивается подобным образом. Тем не менее, судя по имеющимся данным, на протяжении многих тысяч лет информационный механизм не давал сбоев, принципиально меняющих тенденцию роста населения Земли (возможно, некоторые изменения значения k происходили во времена «неолитической революции» и появления письменности).

Информационный механизм роста, по-видимому, должен поддерживаться обратными связями. С одной стороны, если N превышает достигнутые возможности, то мальтузианский механизм приводит к вымиранию «лишних людей», а информационный рост составляет не kN, а kN₁, где N₁ - численность, соответствующая уровню развития, что ведет к замедлению роста или даже сокращению численности людей. С другой стороны, если фактическое значение N меньше возможного при достигнутом уровне развития, то рост идет ускоренным образом, как за счет информационной составляющей (N₁ > N), так и счет экспоненциального заполнения созданной человеком «экологической ниши».

Тем не менее, даже с учетом предположений об обратных связях, остается неясным, каким образом столь хорошая аппроксимация роста численности человечества формулой (1) сохранялась в течение большой части демографического перехода. Рост населения в середине ХХ века шел в основном за счет стран «третьего мира», вносящих скромный вклад в технологический и организационный прогресс. Неочевидно, почему в этих условиях значение k оставалось прежним, а N₁ и N были примерно равны друг другу. Изменение модели роста произошло лишь после того, как во многих странах третьего мира началось снижение рождаемости, а темпы роста в других странах третьего мира приблизились к предельно возможным.

Другое обстоятельство, которое также необходимо учитывать, заключается в том, что до явной фазы демографического перехода практически все изменения скорости роста численности населения определялись изменениями смертности и в меньшей степени связанными с ней изменениями рождаемости, а возрастные коэффициенты рождаемости почти не менялись (такие исключения как Италия времен Римской империи лишь подтверждают правило). Лишь с момента, приблизительно соответствующего d²N/dT² = 0, вступает в силу новый фактор - снижение рождаемости, не связанное с изменением продолжительности жизни, для объяснения которого и введен член τ² в уравнение (2c). По-видимому, этот фактор порождает и новый вид неустойчивости - относительно малую по величине, но весьма существенную на фоне снижающейся неустойчивости смертности, неустойчивость возрастных коэффициентов рождаемости (свобода демографического поведения).

В заключение я хотел бы высказать тезис, с которым, вероятно, не согласятся многие математики и физики. Практически все сбывшиеся исторические, и в т.ч. демографические, прогнозы (объявленные загодя, а не post factum) были сделаны «гуманитарными» способами, даже если их авторы (например, И. Валлерстайн) пользовались математической терминологией. Реальное применение методов точных наук в гуманитарных дисциплинах для решения важных вопросов, если оно вообще возможно, находится очень далеко, и использование методов «нелинейной науки» - весьма существенный, но все же очередной, а не последний шаг на этом пути, который может вовсе не иметь конца. Попытки сократить расстояние, используя удобные для моделирования упрощенные концепции типа «конца истории» Ф. Фукуямы и «пассионарных толчков» Л.Н. Гумилева, не разделяемые большей частью историков и социологов, могут лишь дискредитировать стремление представителей точных наук «лезть не в свое дело».

1 - В дальнейшем в основном будет использоваться достаточно подробное изложение теории в книгах С.П. Капица «Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле», М., 1999 и С.П.Капица, С.П. Курдюмов и Г.Г. Малинецкий «Синергетика и прогнозы будущего», М.: Наука, 1997.
2 - Вишневский А.Г. Воспроизводство населения и общество. М.: Финансы и статистика, 1982, с.72.
3 - Нельзя исключить, что многие историко-демографические синхронизмы на самом деле лишь в малой степени касаются численности населения. Известно, что в периоды междоусобиц убыль населения во многом определяется не физическим сокращением населения, а снижением полноты учета (потеря фактического контроля над окраинными провинциями, уклонение от податей, массовые миграции и т.д.). Вклад данного фактора оценить очень трудно. Например, существует предположение, что время татаро-монгольского ига население Руси не сократилось, просто большая часть его переместилась в леса; аналогичные проблемы меньшего масштаба существуют относительно царствования Петра I и даже коллективизации. Возможно, этот фактор существенен не только для России, но и для других стран, в первую очередь, для Китая.
4 - Существуют меньшие оценки отсутствия периода контактов между Старым и Новым Светом; по мнению некоторых исследователей, они закончились лишь 10-12 тысяч лет назад с исчезновением сухопутного моста между Азией и Америкой. Если подобные оценки верны, то данный пример не является столь сильным аргументом в пользу близости скоростей развития различных человеческих обществ.