Оценка степеней смертности рода человеческого, выведенная из любопытных таблиц рождений и похорон в городе Бреслау с попыткой установить цену пожизненных рент¹

Эдмонд Галлей

[1] Размышления о смертности рода человеческого обладают помимо моральных приложений еще и материальными и политическими применениями. Некоторое время тому назад пытливый Сэр Уильям Петти рассмотрел и те, и другие самым рассудительным образом в своих Естественных и политических наблюдениях над бюллетенями о смертности Лондона, находившихся во владении капитана Джона Граунта². Позднее, в подобном же трактате, он изучил Бюллетени о смертности Дублина. Однако выводы из этих бюллетеней о смертности представлялись несовершенными даже их составителям, во-первых, поскольку число жителей было неизвестно и, во-вторых, потому что нельзя было определить возраст умиравших. И, наконец, ввиду значительного и случайного притока посторонних и в Лондон, и в Дублин, которые там и умирали (что выявлялось в обоих случаях по значительному превышению похорон над рождениями³), эти города не могли служить стандартом для указанной цели [?]. Требуется, если возможно, чтобы изучаемое население нисколько не изменялось, чтобы люди умирали там, где родились без всякого побочного возрастания населения извне или его убывания ввиду миграции в другие места.

[2] Думается, что этот [последний] недостаток в весьма значительной степени исключен в недавних любопытных Таблицах бюллетеней смертности в городе Бреслау⁴, сообщенных в последнее время этому почетному [Королевскому] обществу [его секретарем] м-ром Жюстеллом. И возраст, и пол всех умерших указаны там помесячно и сравнены с числом рождений за последние пять лет, т.е. за 1687, 1688, 1689, 1690 и 1691 гг., притом, по-видимому, со всей возможной точностью без притворства и обмана.

Город Бреслау это столица провинции Силезия; он расположен на западном берегу реки Одер, в древности называвшейся Виадрус, вблизи границы Германии и Польши и почти на широте Лондона. Он очень далек от моря, - настолько, насколько можно желать, а потому приток посторонних в него невелик. Работой по изготовлению полотна в основном заняты бедняки из самого города и его окрестностей. Оттуда ввозят тот сорт полотна, который мы обычно называем силезским и который является основным, если не единственным тамошним товаром. По этим причинам жители Бреслау представляются наиболее подходящими в качестве стандарта, и тем более, что рождения там немного превышают похороны. Единственное, чего не хватает, это числа всех жителей, и я в какой-то мере попытался его определить по сравнению смертностей жителей во всех возрастах, которые я со всей возможной точностью опишу в общих чертах по указанным бюллетеням.

[3] Оказывается, что в течение пяти упомянутых лет, а именно с 1687 по 1691 гг. включительно, было 6193 рождений и 5869 погребений, т.е. 1238 рождений и 1174 погребений ежегодно. Возрастание населения можно, следовательно, полагать равным 64 в год или примерно 1/20. Оно, пожалуй, компенсируется набором рекрутов для службы императору⁵ в его войнах. Это, однако, условная оценка, а рождения достоверны и поэтому я буду предполагать, что население Бреслау ежегодно возрастает ввиду рождений на 1238 человек. Из этого числа, как следует из тех же самых таблиц, 348 умирают в течение первого года жизни и только 890 доживают до полного года. Подобным же образом, в среднем 198 умирают в течение пяти лет, от года до полных шести лет, так что лишь 692 из числа рожденных доживают до полных шести лет. Начиная с этого возраста, дети достигают некоторой степени стойкости, становятся все менее и менее подверженными смерти и представляется, что из всего населения Бреслау ежегодно умирают столько, сколько указано в следующей таблице. Верхние цифры в ней это возраст, а внизу под ними число ежегодно умирающих этого возраста. Отсутствие числа в верхней строке означает, что нижнее число указывает количество умерших в течение периода между предыдущей и последующей колонками.

[4] Из этой таблицы очевидно следует, что от 9 и примерно до 25 лет в каждом возрасте ежегодно умирает не более 6 человек, т.е. очень близко к 1% от их числа. И хотя в возрастах 14, 15, 16и 17 лет умирают, как показано, много меньше, а именно 2 и З_1/2, это, равно как и другие неправильности в ряду возрастов, которые выправятся при гораздо большем числе лет [наблюдения]⁶, как например при 20 вместо пяти, видимо, скорее следует приписать случаю. И по нашему собственному опыту в больнице Крайст-Черч, как мне известно, из молодых ребят тех же самых возрастов ежегодно умирает очень близко к 1%. От 25 до 50 лет ежегодно умирают, как представляется, 7, 8 или 9 человек каждого возраста. После этого и вплоть до 70 лет люди слабеют и, хотя их число намного уменьшается, смертность возрастает и оказывается, что в каждом возрасте ежегодно умирают 10 или 11 человек. Далее количество живущих становится весьма небольшим и их число постепенно убывает пока не остается никого, как можно сразу усмотреть из Таблицы №1.

Таблица 1

[5] Исходя из этих соображений, я составил дополнительную (adjoined) Таблицу №2 со многими возможными применениями⁷⁴, которая предоставляет более верную идею о состоянии и условиях [жизни] рода человеческого нежели любое существующее и известное мне средство. Она показывает для Бреслау количество живущих всех возрастов от рождения до глубокой старости и тем самым шансы смерти в каждом возрасте, равно как и способ достоверной оценки стоимости пожизненных рент, которая до сих пор была лишь воображаемой. Кроме того, с помощью таблицы можно вычислить и шансы человеку любого возраста дожить до любого другого заданного возраста, и много другого, как я покажу ниже. Эта таблица действительно показывает число лиц каждого текущего возраста следующим образом.

Таблица №2

Текущий возраст (1); число живущих (2).

[Рамкой обведена "Вспомогательная таблица" суммарных данных для указанных в ней возрастов.]

Таким образом оказывается, что все население Бреслау действительно составляет 34 000 человек⁸, как показано во вспомогательной таблице (Всего).

[6] Первое применение Таблицы 2 состоит в том, чтобы указать долю мужчин, способных носить оружие, в любом множестве населения, т.е., скорее, мужчин в возрасте от 18 до 56 чем от 16 до 60. Самые молодые из последних обычно слишком слабы, чтобы переносить изнурения войны и тяжесть оружия, а самые старые из ник, хотя и бывают случаи противоположного характера, слишком слабы и немощны ввиду своего возраста.

До 18 лет в этом городе, как следует из Таблицы №2, проживает 11 997 человек и 3950 старше 56 лет, в сумме 15947. Остаток до 34000, равный 18053, это жители между указанными возрастами и по крайней мере половина из них, т.е. 9027, мужчины. Итак, полная численность территориального войска, которое этот город может выставить, составляет около 9 тысяч или 9/34, немногим более четверти населения и эту оценку быть может возможно принять за правило для всех других мест.

[7] Второе применение Таблицы 2 состоит в том, чтобы показывать различные степени смертности, или, скорее, жизнеспособности в каждом возрасте. Если разделить количество лиц любого заданного возраста, остающихся в живых через год, на разность между этим числом и количеством живущих в назначенном более позднем возрасте, частное покажет соотношение шансов человеку в этом заданном возрасте остаться в живых в течение года. Так, например, человек в возрасте 25 лет имеет соотношение шансов 560:7 или 80:1 не умереть в течение года, потому что из 567 живущих в этом возрасте в течение года умирает не более семи, оставляя 560 в возрасте 26 лет.

Подобным же образом можно подсчитать соотношение шансов человеку не умереть до достижения любого назначенного возраста. Разделите число остающихся людей в назначенном возрасте на разность между ним и числом людей заданного возраста; частное покажет соотношение шансов остаться в живых и умереть. Так, например: каково соотношение шансов сорокалетнему человеку прожить семь лет? Число лиц 47 лет в таблице равно 377; его надо вычесть из числа 40-летних, т.е. из 445, разность равна 68. Это показывает, что за 7 лет умрут 68 и что искомое соотношение шансов равно 377:68 или 51/2:1, что человек 40 лет действительно проживет 7 лет. Подобным же образом можно подсчитать соотношение шансов для любого другого срока жизни.

[8] Третье применение. Но если спрашивается, при каком оставшемся сроке жизни шансы жить и умереть совпадут, таблица легко ответит на этот вопрос. Ибо если число живущих в данном возрасте [должно] сократиться вдвое, таблица покажет, в каком году это произойдет ввиду смертности. И это и будет возрастом, до которого у человека заданного числа лет есть равные шансы дожить или не дожить. Так, например, пусть человеку 30 лет, число людей этого возраста равно 531. Половина этого числа, 265, находится в таблице между 57 и 58 годами, так что 30-летний человек может разумно надеяться прожить еще 27-28 лет.

[9] Четвертое применение. Стоимость страхования жизни должна регулироваться сказанным выше, так что будет выявлено, например, различие в стоимостях страховки 20-летнего и 50-летнего. Для первого соотношение шансов прожить год равно 100:1, но лишь 38:1 для второго.

[10] Пятое применение. От этого⁹ зависит оценка пожизненных рент, ибо ясно, что покупатель ренты должен уплатить лишь за ту часть цены ежегодной ренты, которая соответствует шансам его дожития. И сумма всех этих ежегодных значений¹⁰ будет равна цене его пожизненной ренты. Далее, современная стоимость денег, уплачиваемых после нескольких лет при любом заданном проценте на капитал может быть определена либо по уже составленным таблицам, либо почти так же быстро по таблице логарифмов¹¹.

Все это вычисление, конечно же, покажется очень трудоемким, но оно соответствует одному из основных применений наших рассуждений. Отыскав некоторые сокращения, я приложил усилия к вычислению. Таблицы №3, являющейся результатом необычного числа арифметических операций¹² и показывающей стоимость [пожизненных] рент для страхующихся через каждые пять лет их жизни вплоть до 70 лет.

Таблица №3

Возраст страхующегося (1); стоимость пожизненной ренты, выраженная в количестве получаемых годовых рент (2).

[Пример. Стоимость пожизненной ренты для 30-летнего в 11,72 раза превысит размер его годовой ренты.]

Наша таблица показывает громадную выгоду вкладывания денег в существующий ныне фонд, недавно одобренный Их Величествами¹³ и дающий 14% в год. Это соответствует покупке пожизненной ренты за семикратную годовую ренту, тогда как при обычном проценте на капитал молодые жизни стоят более 13 годовых рент. Равным образом таблица показывает преимущество молодых жизней перед зрелыми; жизнь десятилетнего стоит почти 13_1/2лет, а 36-летнего, лишь 11.

[11] Шестое применение. Оценка взаимного страхования двух жизней возможна по тем же правилам, ибо количества шансов каждой отдельной жизни, найденные из таблицы, после перемножения становятся количеством шансов для двух жизней. И после любого заданного числа лет произведение двух остающихся сумм¹⁴ будет равно шансу, что оба остались в живых. Произведение двух разностей, т.е. чисел умерших обоих возрастов, будет равно шансу, что оба умрут. А произведения остающихся сумм одного возраста на шанс умереть для другого возраста покажут существующие шансы одного человека пережить другого. Отсюда выводится правило для оценивания цены ренты на пережитие¹⁵

Возможно, что еще лучше это может быть объяснено при истолковании этих произведений прямоугольниками, как на чертеже ...¹⁶

[12] Можно возразить, что отличия в благотворности различных мест действительно воспрепятствуют универсальности нашего предложения¹⁷. Этого отрицать нельзя. Но по числу умирающих, которое составляет 1174 в год при населении 34 тысячи человек на самом деле представляется, что ежегодно умирает около 1/30 части населения, как Сэр Уильям Петти и определил для Лондона. А число умирающих во младенчестве является хорошим доводом в пользу того, что воздух в Бреслау ни благотворен, ни опасен. И исходя из того, что я могу выяснить, видимо нельзя предложить лучшего места в качестве стандарта. Во всяком случае, желательно, чтобы любознательные люди в других городах попытались в подражание [мне] осуществить что-то такого же рода, ибо ничто иное быть может не будет полезнее.

¹ Публикуется по: Дж. Граунт, Э. Галлей. Начала статистики населения, медицинской статистики, математики страхового дела. Перевод с английского О.Б. Шейнина. Берлин. 2005. С. 111-118.
² Галлей не обосновал своего мнения об авторстве Наблюдений (косвенно повторенного в § 12). О точке зрения многочисленных комментаторов по этому вопросу см. наше Предисловие (с. 7) к переводу книги. Но Петти (1683b; 1686) не только "изучил Бюллетени ... Дублина", но и опубликовал исследование прироста Лондона (1683а). См. также наше Предисловие (с. 110). О. Ш.
³ Над крещениями. О.Ш.
⁴ В настоящее время польский Вроцлав. О.Ш.
⁵ Император Священной Римской империи германской нации, который, впрочем, к тому времени утратил реальную власть. Будь предположение Галлея о "компенсации" возрастания населения верно, оно означало бы, что население Бреслау почти стационарно, но не мог же император брать в рекруты женщин! О.Ш.
⁶ Неправильности вполне могли быть вызваны действием систематических влияний, а не случайными причинами. Галлей повторил это утверждение в начале своей второй статьи. О.Ш.
⁷ См. ниже. Муавр (De Moivre 1743, p. 345) перепечатал ее и заметил, на с. 347, что она "навсегда прославит рассудительность и проницательность ее превосходного автора" и останется "неплохим стандартом для человечества вообще" пока не будут собраны новые статистические данные. О.Ш.
⁸ Как и Граунт, Галлей напрасно выписывал многие числа так, будто они абсолютно точны; в нескольких подобных случаях мы заменили последние три нуля словом тысяч(а). См. также наше Предисловие к Наблюдениям Граунта. О.Ш.
⁹ От возраста. О Ш.
¹⁰ Этих ежегодных уплат. О.Ш.
¹¹ Мы опускаем дальнейшие объяснения. Гораздо понятнее их изложил Муавр (De Moivre 1743, pp. 265 - 266). Пусть, как в примере Муавра, возраст покупателя пожизненной ренты 50 лет, и поэтому остаток его жизни равен 36 годам (86 лет, по Муавру, предел жизни). При 5% годовых на капитал и ежегодной ренте в 1 фунт современная стоимость пожизненной ренты равна сумме геометрической прогрессии

так что ее покупатель должен уплатить за нее 16.55 фунтов, т.е. 16.55 раз больше своей ежегодной ренты. Для подсчета подобных сумм Муавр составил специальную таблицу (с. 304), основанную на указанной величине годовых процентов; число 16.55 приведено в ней против аргумента 36. Подчеркнем, что Галлей не принял никакого фиксированного предела для срока жизни, а исходил из "шансов дожития" (см. выше). О.Ш
¹² К которым, однако, нельзя отнести логарифмирование. О.Ш.
¹³ В 1689 - 1702 гг. королем Англии был Вильгельм III Оранский, который до 1694 г. правил совместно со своей женой Марией. О.Ш.
¹⁴ Произведение чисел лиц заданных возрастов, остающихся в живых. О.Ш.
¹⁵ Мы опускаем дальнейшее объяснение и рекомендуем читателям взамен обратиться к книге Hald (1990, pp. 139- 141). О.Ш.
¹⁶ Вряд ли произведения двух чисел можно лучше представить себе при помощи площадей прямоугольников. Галлей приводит и пространственный чертеж для пояснения вычислений стоимости ренты на три жизни в седьмом применении своей таблицы, но и этот чертеж мы опускаем, поскольку он вряд ли нужен и к тому же сложен. Впрочем, в действительно желательных случаях геометрическое истолкование статистических понятий применяется и сейчас; элементарные геометрические построения встречаются уже у Тетенса (Tetens 1785). Наконец, он приводит и таблицу современной стоимости одного фунта, уплачиваемого через определенное число лет и при 6% годовых на капитал, а именно через п = 1, 2,..., 39, 40, 45, 50, ..., 95, 100 лет. Так, при уплате через 10 лет современная стоимость одного фунта равна (1/1.Об)¹" = 0.5584 фунта, ср. прим. 6]. О.Ш.
¹⁷ Универсальности составленных таблиц. О.Ш.