Демографические работы Леонарда Эйлера¹

В.В. Паевский

Изумительный гений Эйлера проявлял себя, как известно, отнюдь не только в области чистой математики. В поражающем по своей величине списке его трудов среди капитальнейших математических работ можно найти большое число сочинений по механике, некоторым отделам физики (оптика и др.), астрономии, внешней баллистике, по теории музыки, теории некоторых игр и по многим другим отраслям. Менее широко известны его работы в области математической статистики, вернее, в одной ее части - математической демографии. Между тем, в этой области Эйлер, в сущности, впервые подвел вполне отчетливый математический фундамент под целый ряд основных понятий демографии, таких, как понятие о порядке вымирания (таблицы смертности), понятие прироста населения, периода его численного удвоения и т. п. Эйлером же с максимальной ясностью были формулированы основные принципы, на которых должно строиться дело личного страхования (страхования жизни во всех его видах).

В настоящей статье мы хотим вкратце коснуться работ Эйлера в указанных областях.

Как известно, совершенно исключительная плодовитость творчества Эйлера нередко приводила к тому, что, несмотря на огромную славу Эйлера среди современников, он иногда не мог найти издателей для своих непрерывно появлявшихся новых трудов. В результате его сочинения оказались рассеянными в весьма большом количестве различных изданий. В частности, те его работы, которые касаются демографических вопросов, впервые собранные воедино в томе VII (первой серии) полного собрания сочинений Эйлера, в свое время были напечатаны частью в мемуарах Берлинской Академии, частью в изданиях нашей Академии Наук, частью в отдельных собраниях работ Эйлера; некоторые же работы до сего времени не были напечатаны и впервые стали достоянием демографов лишь после появления указанного тома VII «Leonhardi Euleri Opera omnia».

Из числа указанных работ наибольшего внимания заслуживают    «Исследования о смертности и умножении рода человеческого», появившиеся в Записках Берлинской Академии Наук в 1767 г., и мемуар «Об умножении рода человеческого»² - нигде не напечатанный до выхода в свет «Opera omnia».

В первом из указанных сочинений Эйлер прежде всего дает ясную формулировку понятия «порядок вымирания или переживания», - понятия, которое лежит в основе всего современного учения о таблицах смертности; далее в ряде «вопросов» (Question) и ответов на них Эйлер излагает всю методику использования таблицы смертности. В этих «вопросах», в сущности, излагается вся основная часть математической теории смертности (так называемой «формальной» теории смертности) и излагается с необыкновенной ясностью и логической законченностью. Здесь же Эйлером впервые вводится в употребление новое понятие - понятие о «вероятной продолжительности жизни».

Попутно с теоретической трактовкой вопросов измерения смертности, Эйлер тут же разрешает ряд практических задач, относящихся к области страховой математики. Числовые расчеты, связанные с указанными задачами, производятся на основа пользовавшейся известностью таблицы смертности W. Kersseboom (1742 г.)³, которая и приводится Эйлером в этом мемуаре.

Во второй части указанного сочинения Эйлер рассматривает вопрос о приросте населения. Установив точное определение прироста, Эйлер, при помощи тех же «вопросов» и ответов на них разрешает ряд задач, относящихся к определению величины прироста, к численности населения в предстоящие годы, численности умерших и т.п. Здесь же Эйлером рассматривается проблема так называемых «законов смертности»⁴.

Следует отметить, что если в первой части своего мемуара Эйлер дал вполне законченную теорию формального измерения повозрастной смертности, к которой вся последующая демографическая наука не прибавила ничего существенно нового, во второй части Эйлер исходит из упрощенных предпосылок о рождаемости. Не имея перед собой результатов переписей (в современном смысле этого слова), Эйлер не мог оценить всей важности вопроса о плодовитости, как функции возраста, и о громадной варьируемости повозрастных коэффициентов воспроизводства. В результате предложения, которые кладутся Эйлером в основу определения роста населения во времени, оказываются с нашей точки зрения слишком упрощенными.

Эйлер в своих расчетах полагает коэффициент рождаемости величиной постоянной, не предусматривая того факта, что даже при неизменной во времени повозрастной плодовитости, коэффициент рождаемости, вообще говоря, не может оставаться постоянным в силу неизбежного изменения возрастного состава, изменений, которые для будущего времени определяются событиями, имевшими место в прошлом. Тем не менее Эйлер, в результате своих исследований, приходит к знаменитому положению о росте населения во времени (в отсутствии пертурбационных факторов) соответственно членам геометрической прогрессии, положению, которое и сейчас (правда, при введении целого ряда ограничительных условий) кладется обычно в основу гипотез о приросте. Как мы уже говорили выше, Эйлер не имел возможности практически использовать результаты переписей, однако, его глубокий ум подсказывал ему важность переписных данных для задач измерения, смертности.

В заключительных фразах указанного сочинения Эйлер, не употребляя слова «перепись», приходит, тем не менее, к вполне современной идее построения таблиц смертности на основе сведений о живущих и данных об умерших (за соответствующий год), распределенных по возрасту.

Второй из названных мемуаров «Sur la multiplication du genre humain» тесно связан с работой Эйлера по математико-статистической обработке некоторых глав известной книги пастора Зюссмильха «О божественном порядке»⁵.

Леонард Эйлер, как сын своего века, к тому же выросший и воспитанный в семье пастора, не раз принимал участие в работах апологетически-христианского направления. Можно считать установленным, что в переработке 2-го издания книги Зюссмильха⁶ Эйлер принимал самое деятельное участие, а глава VIII этой книги «Von der Geschwinligkeit der Vermehrung und von der Zeit der Verdoppelung» -- видимо, в значительной части написана Эйлером. Мемуар же «Sur la multiplication du genre humain» (написанный частью по-французски, частью по-латыни) - представляет собою развернутую математическую обработку тех материалов, какие положены в основу главы VIII упомянутой книги Зюссмильха.

Оба эти сочинения содержат в себе целый ряд весьма интересных и глубоких положений из области математической демографии.

Основное содержание указанных работ заключается в рассмотрении вопроса о времени, потребном для удвоения численности населения (замкнутого, т. е. не подверженного миграциям), при различных гипотезах о смертности и рождаемости. Не входя здесь в подробности, укажем лишь, что Эйлер в данных работах сознательно упрощал основные предпосылки для того, чтобы сделать возможно более простыми и ясными вытекающие из них математические следствия. Эйлер не рассматривает возрастный состав населения в виде  функции от двух переменных  (времени-эпохи и времени-возраста), как это делается в настоящее время, и, вместо этого - исходит из следующей, например, искусственно-упрощенной схемы «структуры» населения:

1. Все браки (надо заметить, что Эйлер вообще рассматривает только брачную плодовитость) заключаются в возрасте ровно 20 лет (для обоих супругов).
2. Всякий брак приносит 6 живых детей: 3 мальчиков и 3 девочек.
3. Все рождения происходят двойнями: один мальчик и одна девочка рождаются в годы, когда родителям исполняется ровно 22, 24 и 26 лет.
4. Никто не умирает до возраста 40 лет, но в этом возрасте умирают все.

При этих условиях, начиная от момента, когда первой паре исполнилось 22 года, числа рождений, расположенные через двухлетние интервалы, образуют следующую последовательность:

2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 4, 6, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 6, 12, 14, 12, 6, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 20, 32, 38, 32, 20, 8, 2, 0, 0, 2, 10, 30, 60, 90, 102, 90, 60, 30, 10, 2, 2, 12, 42, 100, 180, 252, 282, 252, 180, 100, 42, 14...

Эйлер говорит, что члены таких рядов являются коэффициентами разложения (делением) некоторой производящей функции и (для другого численного примера) указывает вид соответствующей производящей функции⁷. Кроме того, Эйлер замечает, что несмотря на крайнюю видимую неправильность, нерегулярность такой последовательности чисел, какая бросается в глаза, если рассматривать только первые члены, - при достаточно далеком продолжении этой последовательности она начинает «превращаться» в геометрическую прогрессию, причем все неправильности начинают исчезать.⁸

Примерно через 160 лет после того, как Эйлером были написаны эти строки, немецким статистиком-математиком Гумбелем (Е.J. Gumbel)⁹ была доказана справедливость утверждения Эйлера для данного частного ряда, указана производящая функция вида:

и показано, что геометрическая прогрессия, к которой стремится приведенный выше ряд, имеет знаменателем наибольший по модулю корень, соответствующего уравнения

равный 1,0961.

Во всех своих работах, при самых разнообразных гипотезах о рождаемости и смертности -  Эйлер неизменно приходит к заключению о том, что в замкнутом населении числа родившихся (а следовательно и численность населения) должны расти в геометрической прогрессии.

Демографическая наука настоящего времени не может, конечно, целиком согласиться с подобным утверждением. Рост конкретного населения зависит от столь многих факторов (по большей части математически не поддающихся интерпретации), главным образом социального порядка, что едва ли можно надеяться отобразить его в математической формуле, в особенности столь простого вида.

Но современная математическая демография не отказывается и от рассмотрения абстрактных схем изменения численности и состава населения, правда, отнюдь не придавая им смысла предсказаний, и видя в них лишь средство к получению наиболее совершенных измерителей тех изменений, какие наблюдаются в населении. При этом и самые схемы далеко отошли от тех примитивно-простых положений, какие приходилось класть в основу Эйлеру. Это относится, прежде всего, к понятию возрастного состава населения, в отношении которого современные демографы сжились с мыслью о его непрерывной изменяемости в функции от времени-эпохи. Любопытно, однако, отметить, что наиболее тонкие современные методы построения абстрактных схем изменения численности населения, при условии принятия константности некоторых демографических факторов (напр., повозрастной смертности, повозрастной плодовитости) - приводят к тем же, в основном, заключениям, к каким пришел Эйлер о росте населения, в пределе приближающемся к росту по геометрической прогрессии. К такому результату пришел, например, и виднейший американский демограф A. Lotka, использовав методы интегральных уравнений¹⁰ (типа Volterra); к этому же результату пришли и немецкие исследователи F. Bonz и F. Hilburg, рассматривая решение уравнения для. прироста в конечных разностях.¹¹

Помимо указанных, можно сказать, чисто демографических работ - у Эйлера имеется ряд трудов, посвященных вопросам приложения теории смертности к вопросам страховой практики. К этой группе сочинений относятся следующие мемуары Эйлера:

1. «0 пожизненных рентах»¹² В этом мемуаре Эйлер, определив основные понятия, лежащие в основе всякой страховой операции (смертность и величину дисконта), дает рекуррентные формулы для определения современной   стоимости пожизненной (postnumerando) ренты и далее, пользуясь таблицей смертности Kersseboom'a, приводит ряд построенных им практических таблиц для вычисления стоимости ренты.
2. «О вдовьих кассах»¹³. Здесь Эйлер рассматривает вопросы, связанные со страхованием, зависящим от дожития или смерти двух лиц («на две жизни»), и вообще вопросы страхования на случай смерти. В этом мемуаре Эйлер близко подходит к понятию «коммутационных чисел», введенных в страховую науку впоследствии Tetens'oм и играющих большую роль у современных актуариев.
3. «Об общественных установлениях для вдов и на случай смерти»¹⁴ - наиболее  обширное сочинение Эйлера в области страховой математики, состоящее из трех частей: 1) о вдовьих пенсиях, 2) о взаимном страховании на случай смерти, и 3) о плане новой тонтины (особого порядка, где допускается непрерывный приток новых участников тонтины). Книга представляет собою обширный трактат по страхованию, объединяющий в себе многое из написанного Эйлером прежде, и снабжена большим количеством таблиц, не утративших интереса и в наше  время.
4. «О страховании сирот»¹⁵. В этом мемуаре Эйлер разрешает задачу определения стоимости страхования известной суммы, выплачиваемой наследникам после смерти обоих родителей. Вновь используя таблицу смертности Kersselboom'a, Эйлер разрешает при помощи одного общего уравнения ряд отдельных задач, связанных с таким страхованием.
5. К этой же группе относится мемуар (вернее, нигде до появления «Opera omnia» не напечатанный отрывок из черновых записей Эйлера) «о вычислении тонтинных рент»¹⁶, где Эйлер рассматривает различные модификации тонтин. Отрывок, по-видимому, представляет собою экспертизу проекта тонтины, произведенную по просьбе Фридриха II.

Вопросы смертности, рождаемости и прироста населения постоянно занимали Эйлера, и он неоднократно возвращался к ним не только в специальных мемуарах, но пользовался демографическими проблемами и в качестве примеров в чисто математических сочинениях. Так, например, во «Введении в анализ», в главе VI (De quantitatibus exponentiabilis ас logarithmis) Эйлер, в четырех местах заимствует чисто демографические (правда, чрезвычайно элементарные) задачи, в качестве примеров для вычисления. Характерна для эпохи Эйлера, напр., следующая задача:

«Cum post diluvium a sex hominibus genus humanum sit propagatum, si ponamus ducentis annis post numerum hominum iam ad 1 000 000 excrevisse, quaeritur, quanta sui parte numerus hominum quotannis augeri debuerit»¹⁷.

Можно было бы полагать, что Эйлер, как замечательный представитель чисто математического гения, в вопросах демографии ограничится чисто математической, формальной трактовкой возникавших перед ним задач. Однако это далеко не так. Глубокий ум исследователя заставлял его проникать в самую суть исследуемых проблем. Эйлер прекрасно понимал, в каком отношении находятся конструируемые им схемы к фактам конкретной действительности. Мы встречаем у него ряд чрезвычайно интересных замечаний на эту тему. Так, например, по поводу таблиц, смертности Эйлер предостерегает от стремления придать найденному порядку вымирания характер универсальности, говоря, что каждая таблица пригодна лишь для того города или провинции, для которых она построена. При этом он высказывает положение, согласно которому смертность в больших городах должна быть выше, чем в малых, а в малых выше, чем в деревнях - соображение, по-видимому, справедливое для той эпохи.

Далее он говорит о том, что построенный на таблице порядок вымирания перестает быть пригодным для использования во всех случаях, когда на сцену появляются эпидемия или голод и война. Эйлер прекрасно понимает и важность учета миграционных факторов, при построении таблиц смертности, отлично учитывает половые различая в смертности и неоднократно говорит о том, что пользование таблицей смертности для населения обоих полов вместе может привести к большим ошибкам (критика таблицы Kersseboom'a).

Эйлер не только неоднократно возвращается к вопросу о пониженной смертности женщин, по сравнению с мужчинами, но, что особенно замечательно, отлично разбирается в чисто демографических вопросах ранней детской смертности (на первых месяцах жизни). При этом Эйлер высказывает глубокие соображения, нередко ускользающие от внимания даже современных социал-гигиенистов, сопоставляющих смертность всего детского населения со смертностью изолированных детских групп (детские дома, ясли, консультации). Он говорит, что таблица смертности, построенная по наблюдениям над лицами, получающими ренту, не отражает действительной смертности населения, в особенности для детей моложе одного года, ибо, по его словам, несомненно, что в наблюдение попадают лишь дети, ускользнувшие от опасностей первых месяцев жизни, и, следовательно, таблица представляет смертность «отобранного коллектива детей», а не всего детского населения. «... et à cet égard on ne sauroit se servir des registres des rentes viagères, qui commencent par des enfans au dessous d'un an. Car d'abord, on ne peut pas regarder ces enfans comme nouvellement nés, et la plupart est sans doute déjà échappée aux dangers des premiers mois; et ensuite, on ne s'engagera guère souvent pour des enfans d'une complexion foible, de sorte qu'on doit regarder comme choisis les enfans pour lesquels on prend des rentes viagères"... и далее, рассматривая числа доживающих по таблице Kersseboom'a,... "or, puisque cette table est dressée sur des enfans choisis et qui ont même déjà survécu quelques mois depuis leur naissance, si l'on veut l'appliquer à tous les enfans nouvellement nés dans une ville ou province, il faut diminuer tous ces nombres d'une certaine partie, pour tenir compte de la grande mortalité à laquelle les enfans sont assujettis aussitôt après leur naissance».¹⁸

Как эти соображения далеки от сухих формально-математических схем!

Гениальный математик Эйлер являет здесь черты подлинного демографа, глубоко проникающего в конкретное существо исследуемой проблемы.

Конечно, не все из того, что создал Эйлер в области демографии, сохранило абсолютное значение и для настоящего момента. Кое-что устарело и имеет лишь исторический интерес. Однако Эйлер по праву занимает выдающееся место в том ряду замечательных математиков, которые приложили свою руку к исследованию демографических и смежных с демографией проблем, в том ряду, который начинается именами де Муавра, Эйлера, Фурье, Лапласа, которому не чужд остался и Гаусс и который в последнее время пополнился именами Вольтерра, Мизеса, Фреше и многих других.

¹ Паевский В.В. Демографические работы Леонарда Эйлера // Леонард  Эйлер  1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. М-Л .: Издательство Академии наук СССР. М.-Л. 1935. С. 103-110.
² Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain. Mém. De l'Acad. d. Se. de Berlin, t. 16 (1760), p. 144-164.
³ Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain. Mém. De l'Acad. d. Se. de Berlin, t. 16 (1760), p. 144-164.
⁴ Sur la multiplication du genre humain". Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. vol. VU, 1923.
⁵ Голландский Исследователь Wiliem Kersseboom (1691-1771 гг.) занимал финансовые должности и построил, на основе наблюдений над лицами, купившими у правительства пожизненную ренту, таблицу смертности для населения обоих полов вместе.
⁶ Joh. Pet. Sûssmilch. Die gottliche Ordnung in der Veranderungen des menschlichen Geschlechts aus der Geburt, dem Tode und der Fortpflanzung desselben erwieeen. Berlin, 1761-1762.
⁷ Opera omnia, vol. VII, ser. I, p. 551.
⁸ So unordentlich diese Progressionen auch anfânglich scheinen, so werden sie doch endlich, wenn sie stets fortgesetzt werden, in eine geometrische Progression verwandelt, daher denn die im Anfang wahrgenommene Unordnungen je langer je mehr abnehmen, bis sie end lich fast ganz verschwinden (§ 161, VIII Capitel «Gottliche Ordnung»).
⁹ E.I. Gumbel. Eine Darstellung statistischer Reihen durch Euler. Jahresbericht de deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 25, Leipzig, 1916, H. 7-9,  § 251. Множитель 2 y Гумбеля пропущен; ср. Opera omnia. Ser. I, vol. VII. Préface de l'éditeur (L. G. Du Pasquier), p. XL.
¹⁰ См., напр. L. 1. Dublin and A. J. Lotka. On the true rate of natural increase. Journal of the American Statistical Association. New Series, № 150. 1925 или F. R. Sharpe and. A. J. Lotka. Phil. Mag. April 1911, p. 435.
¹¹ F. Bonz und F. Hilburg-. Die voraussichtliche Bevölkerungsentwicklung in Deutschland. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. Bd. II, Heft 3. 1931.
¹² «Sur les rentes viagères». Mém. de l'Académie des sciences de Berlin, 16 (1760) 1767.
¹³ «Des Herrn Leonhard Eulers nöthige Berechnung zur Einrichtung einer Witwenkasse» Neues Hamburgisches Magazin, 1770.
¹⁴ «Eclaircissements sur les établissements publics en faveur tant des veuves que des morts, avec la description d'une nouvelle espèce de tontine aussi favorable au public qu'utile à l'état, calculés sous la direction de monsieur Léonard Euler par mr. Nicolas Fuss». St.-Pétersbourg, 1776
¹⁵ Solutio quaestionis ad calculum probabilitatis pertinentis quantum duo con juges persol-vere debeant ut suis haeredibus post utriusque mortem certa argen ti summa persolvatur. Opus-cula analytica, 2, 1785
¹⁶ Sur le calcul des rentes tontinières. Opera omnia, sen I, vol. VII, p. 553.
¹⁷ «Introductio in analysin infinitorum», t. I, cap. VI, § 110. Exemplum 3. Opera omnia,, ser. I, vol. VIII. См. также exemple 2 et 4, a также § III, exemplum I. «Когда после потопа род человеческий свелся к шести человекам, если, положим, что за двести лет число людей дошло до 1000000, узнать, на какую часть должно возрастать, ежегодно число людей».
¹⁸ Recherches générales sur la  mortalité et la multiplication du genre humain.  Opera omnia, ser. I, vol. VII, p. 86—87