Об одном общем выражении для доживаемости в условиях смертности данного календарного промежутка[1]

В.В. Паевский

Под доживаемостью в некотором календарном промежутке условимся понимать вероятность дожития до заданного возраста лица из такой воображаемой совокупности, которая при своем старении последовательно проходит через все те значения повозрастной смертности, какие наблюдены в заданном (произвольной величины) календарном промежутке времени.

Пусть изображает плотность смертности для возраста x и календарного момента t (в замкнутом, т.е. не подверженном миграции, населении).

Тогда

будет численно равно количеству умерших в возрасте от 0 до x₁ за время (t₁ t₂), и, следовательно, при соответственно избранном виде функции параметры Φx, t) могут быть определены тем или иным интерполяционным приемом на основе данных обычной статистической табличной разработки.

Пусть далее g(t) - изображает плотность родившихся для момента t. Выберем какой-либо возраст z. Тогда лица, достигающие возраста z в промежутке времени (t₁ t₂) все, по моментам рождения будут относиться к промежутку

t_{1 -} z, t_{2 -} z,

и все точки их линий жизни (т.е. моменты достижения различных возрастов x) будут лежать в той части координатной плоскости (x, t), которая ограничена прямыми

t = (t_{1 -} z) + x, t = (t_{2 -} z)+x,

и, следовательно, количество доживших до возраста v из числа родившихся в промежутке (t_{1 -} z, t_{2 -} z) будет численно равно

Полагая здесь v=z, получим L_{z -} число доживших до возраста z, причем до этого возраста (z) указанная совокупность доживет как раз в заданном календарном промежутке (t₁ t₂).

Вероятность лицу из указанной совокупности умереть в следующий элементарно-малый промежуток возраста

z, z + dz

внутри тех же границ времени вымирания (t₁ t₂) будет:

Рассматривая далее изменение z от 0 до исследуемого возраста х_1, приходим к следующему выражению для вероятности некоторой совокупности лиц дожить до возраста х_1, если эта совокупность на протяжении возрастного промежутка (0, x) последовательно проходит через условия той повозрастной смертности, какая наблюдена в промежутке вымирания (t₁ t₂):

Найденное совершенно общее выражение для доживаемости, выражающее общую идею таблицы смертности «идеального» поколения в случае вполне замкнутого населения, может иметь многочисленные практические приложения.

В качестве примера рассмотрим приложение найденного выражения к построению показателя детской смертности на протя­жении некоторого календарного месяца (обычно получаемого чисто эмпирическими путями). Заметим, что на практике в этом случае можно обычно полагать

Φz,t}=g(t-z)*f(z).

Задавшись, для простоты, линейной зависимостью для g(t)

g(t) = a + b_t

и перенеся начало координат в середину изучаемого промежутка времени, положим сначала

Тогда

и (4) принимает вид

а вероятность смерти (на промежутке возраста 0, x)

q_x = l - l_x = kx.

Постоянная k может быть определена из (1) путем использования статистических таблиц

где

Среднее число родившихся (в единицу времени) на календарный промежуток (-x, 0).

Отсюда

При указанном выше виде функций, определяющих рождаемость и смертность, получается, таким образом, обычная формула для показателя детской смертности. Отсюда ясно, что эта формула может применяться при условии пропорциональности смертности числу рождений соответственного поколения, причем коэффициент пропорциональности независим от возраста. В силу очевидной удаленности такого предположения от конкретной действительности, примем иное предположение о виде функции Φ (z, t), задавшись хотя бы простейшей зависимостью f(z) от возраста. Положим

В этих условиях (4) приводится к виду

и вероятность смерти

В этом случае

откуда

Здесь r играет роль поправки на зависимость смертности от возраста. Легко видеть, что поправка эта существенна лишь при b, неравном нулю, т. е. в случае наличия изменений в рождаемости.

Практически, величина поправки может быть вычислена различными способами. Укажем одну из приближенных формул для r, которую можно применять при исчислении смертности детей в возрасте от 0 до 12 месяцев:

где q₁ и q₂ вычисленные обычным способом (путем отнесения к среднему числу родившихся) вероятности умереть до 2 и до 12 месяцев, b — средний месячный прирост рождений и п - среднее число рождений за исследуемый и 12 предыдущих месяцев. Разумеется, указанная поправка делается существенной лишь при стремительном изменении во времени рождаемости и смертности. Приводим пример, характеризующийся такими резкими изменениями (см.таблицу).

Заметим, наконец, что задание для f(z) наиболее естественного показательного выражения

приводит выражение (4) для вероятности дожития к очень простому виду. В этом случае

и вероятность смерти

откуда следует, что (6а) и (10а) получаются из (13а) разложением в ряд путем отбрасывания членов разложения, начиная со второго (для [6а]) и с третьего (для [10а]). Нужно сказать, однако, что пользование формулой (13а) менее удобно для практики, ибо нахождение постоянных в ней (k и т) путем интерполирования требует решения системы трансцендентных уравнений. Достигаемая же этим путем лишняя точность на практике не нужна, ибо фактические значения чисел родившихся и умерших вообще лишь очень приблизительно могут быть интерпретированы простыми функциональными зависимостями.

Помесячные показатели детской смертности (на 100 родившихся). Ленинград, 1919 г

*Истинные показатели получены путем построений специальных таблиц смертности для данных календарных месяцев. 1949 год (война, блокада) характеризуется необычно высокими показателями детской смертности и стремительным падением рождаемости.

Заметим еще, что применение общего выражения (4) к вопросам измерения детской смертности сообщает многим понятиям, например «детская смертность данного календарного месяца», математический смысл, лишая эти понятия неопределенности.

Разработка иных приложений приведенного метода будет служить предметом дальнейших работ.

[1] Публикуется по: Советская демография за 70 лет. М.: Наука. 1987. С. 238-242. Впервые опубликовано: Докл. АН СССР (Новая серия). М.; Л., 1934. Т. 1. № 7. С. 381—387 (ред)